ورقة عمل المعادلات الزمنية المرتبطة الرياضيات المتكاملة الصف الثاني عشر متقدم
ورقة عمل المعادلات الزمنية المرتبطة الرياضيات المتكاملة الصف الثاني عشر متقدم
(4-8) المعدلات المرتبطة – المعدلات الزمنية المرتبطة Related Rates
وهي أحد تطبيقات الاشتقاق الضمني حيث نريد إيجاد معدل تغير مجهول لكمية ما عن طريق ربط هذه الكمية بكميات أخرى معدل تغيرها معلوم عادة ما تكون معدلات التغير منسوبة إلى الزمن المطلوب جد سرعة، معدل التغير في الاحداثي، المساحة المحيط، قطر المستطيل . إلخ).
An application of implicit differentiation,where we need to find the unknown rate of change of one quantity by relating it to the already known rates of change of one or more other quantities. The rate of change is usually with respect to time. The question is to find the speed, rate of change of (coordinates, area, rectangle diameter. etc.) The most common way to approach related rates problems is the following:
وللحل نتبع الخطوات التالية:
- تحديد المتغيرات المعلومة، ومعدلات التغير المعلومة والمطلوب حسابها
- اكتب علاقة تربط المتغيرات (رسم) صورة يمكن أن يكون مفيداً .
- اشتق ضمنيًا كلا طرفي المعادلة بالنسبة إلى الوقت t
- عوض (بعد الاشتقاق) جميع القيم المعروفة في اللحظة المعنية
- حل المعادلة لإيجاد معدل التغير المتبقي المطلوب.
- Decide what the two variables are.
- Make a simple sketch, if it is possible
- Differentiate implicitly both sides of the equation with respect to time t
- .. .Plug in all known values at the instant in question .
- Solve for the remaining rate required
ملاحظة: هذه الدروس أي التطبيقات مثل القيم المثلى ،(7-4) المعدلات المرتبطة (18) معدلات التغير في الاقتصاد والعلوم (9-4) i.com. يكتفي الطالب بالأمثلة والثمارين الموجودة في الكتاب المدرسي نظراً لأنها تكفي بالنسبة للأسئلة الوزارية، والموضوع طويل جداً lalsh وعليه أسئلة لا حصر لها، وإن كان هناك أسئلة خارجية بنفس المضمون الموجود في الكتاب فلا بأس بها، أما ما تعداها فهو إرهاق للطالب فقط وتشتيت لمفهومه لهذه المواضيع.
س (1) بالون مملوء بالهواء الساخن، يرتفع عمودياً لأعلى بمستوى معين، ويتبع حركة البالون جهاز لإيجاد سرعته على بعد ft 500 من نقطة انطلاق البالون. في اللحظة التي كانت فيها زاوية ارتفاع البالون من الجهاز هي ، وكانت الزاوية تزداد بمعدل rad/min 0.14 . كم كانت سرعة ارتفاع البالون عند هذه اللحظة؟
A balloon filled with hot air, rises vertically to a certain level, and the movement of the balloon is followed by a device to find its velocity 500 ft from the balloon’s launch point, At the moment when the angle of elevation of the balloon from the device was, the angle was increasing at a rate of 0.14 rad/min. How fast was the balloon rising at this moment?
س(2) على فرض أن حريق غابات ينتشر في دائرة بنصف قطر يتغير بمعدل ft/ min . عندما يصل نصف القطر إلى المنطقة المحترقة؟ فما هو معدل تزايد مساحة
Suppose a forest fire spreads in a circle with radius changing at a rate of 5 feet per minute. When the radius reaches 100 feet, at what rate is the area of the burning region increasing?
س (3) على فرض أنّ المنطقة المصابة بإصابة ما دائرية. فإذا كان نصف قطر المنطقة المصابة mm 3 وتزداد بمعدل 1mm/hr فما هو معدل تزايد المنطقة المصابة؟
Assume that the infected area of an injury is circular. If the radius of the in
of is 3 mm and growing at a rate of 1 mm/hr, at what rate is the infected area increasing?
س 4 على فرض أن قطرة مطر تتبخر بطريقة تحافظ معها على شكلها الكروي . فإذا تغيّر نصف القطر مع الزمن وكان معدل التبخر الشوبكي 0508124370 Juma Al Shobaki (v) يتناسب مع مساحة السطح، فبيّن أن نصف القطر يتغير بمعدل ثابت؟
Suppose that a raindrop evaporates in such a way that it maintains a spherical shape. If the rate of evaporation (v’) is proportional to the surface area, show that the radius changes at a constant rate?
س (7) سلّم طوله ft 13 موضوع أحد طرفيه على جدار منزل والطرف الآخر موضوع على الأرض. يتحرّك بعيداً عن الحائط بمعدل
ft/sec عندما كان هذا الطرف على بعد ft 12 من المنزل.
ما سرعة انزلاق الطرف العلوي للسلّم على الحائط عند تلك اللحظة؟
ما معدل تغير مساحة المثلث المكونة من السلم والحائط والأرض عند تلك اللحظة؟
ما معدّل تغير الزاوية ) التي بين السلّم والأرض عند تلك اللحظة؟
A 13-foot ladder leans against the side of a house and the other end on the floor. It is moving away from the wall at the rate o 5 ft/sec when this limb is 12 ft from the house. (A) How fast is the top of the ladder sliding against the wall at that moment? (B) What is the rate of change of the area of the triangle made up of the ladder, the wall and the floor at that moment? C) What is the rate of change of the angle between the ladder and the ground at that moment?
س (12) في لحظة ما كان طولا ضلعي القائمة في مثلث قائم الزاوية 16cm 12cm على التوالي. فإذا كان الضلع الأول يتزايد المثلث يبقى محافظاً على شكله. جد معدّل التغير في 1 بحيث أن المثلث بين بمعدل 2cm/sec وكان الضلع الثاني يتناقص بمعدل 1cm/sec بـ مساحة المثلث بعد ثانيتين من تلك اللحظة؟
At some point, the lengths of the two sides of a right triangle were 12 cm and 16 cm, respectively. If the first side is increasing at a rate of 2 cm/sec and the second side is decreasing at a rate of 1 cm/sec so that the triangle remains in shape. Find the rate of change of the area of the triangle after two seconds from that moment?
